Brincar com a Matemática (CEF)

Funções

saberpensar — Sat, 31 May 2008 12:10:39 GMT

O termo função foi pela primeira vez utilizado por Leibniz (1646-1746). Pretendia ele, de forma simples e eficaz, estudar a variação de uma quantidade que dependia de outra (ou outras), não dispondo para tal de qualquer notação para expor este problema.

Outros matemáticos se sucederam no desenvolvimento e aperfeiçoamento do conceito de função, tais como Bernoulli e Euler. Este último usou a notação Y = f(x), e substituiu o termo “quantidade” por “expressão analítica”.

O desenvolvimento do conceito f u n ç ã o continuaria nos séculos seguintes.

A foto ao lado representa um moinho, que tinha por FUNÇÃO transformar o trigo em farinha. Por analogia uma função matemática será também uma máquina (expressão) que modifica um produto (Domínio), no seu transformado (Contradomínio).

História das Funções:

http://www.malhatlantica.pt/mat/HMFuncoes .pdf

FUNÇÕES:

Todo e qualquer elemento do Domínio de uma função deve possuir uma única imagem no Contra-Domínio.

Um exemplo clássico de função é a do salário de vendedores que ganham por comissão:

Existe um valor fixo que o vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês e uma comissão, que depende da quantidade de vendas que o vendedor realizou.

Por exemplo:

Vendas	Comissão por venda	Valor Fixo	Salário
0	55	300	300
1	55	300	355
2	55	300	410
...	...	...	...

Da tabela acima podemos construir uma relação entre as vendas e o salário do vendedor:

E com isso, construímos um gráfico que relaciona vendas a salário, onde verifica-se que:

O salário depende das vendas.
O salário é uma função das vendas.

Função afim:

f(x)= ax+b é uma função cujo gráfico é uma linha recta.

http://br.youtube.com/watch?v=DafkPAx8QwE

Estudo da função afim (observa o gráfico e atribui valores a a e a b):

http://mat.absolutamente.net/ra_f_r.html

Exercício de revisão:

http://www.anossaescola.com/apaiva/ficheiros/recursos/Ficha%20de%20trabalho%208%C2%BA%20Ano.pdf

Aproximações e Inequações

saberpensar — Fri, 30 May 2008 16:45:45 GMT

Recorda os Conjuntos Numéricos já estudados:

http://www.proformar.org/teia/tdin/recursos/did_especifica/matematica/12

Conjunto dos números irracionais:

Os números irracionais são dízimas infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fracção (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:

Um número irracional bastante conhecido é o número л =3,1415926535...

· Conjunto dos números reais (IR):

é formado por todos os números Racionais junto com os números Irracionais, portanto:

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais.

Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:

· Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

· Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

Estimativas e Arredondamentos

Quando vamos às compras, muitas vezes fazemos "contas de cabeça" para sabermos se temos dinheiro para pagar a conta ou se podemos comprar mais coisas.

Mas não é só quando vamos às compras que precisamos de fazer previamente uma estimativa do que vamos gastar.

Devemos desenvolver o cálculo mental e aprender a fazer estimativas, isto é, a prever um resultado antes ou depois de efectuarmos um cálculo.

INEQUAÇÕES:

Nesta unidade irás aprender a trabalhar com um novo tipo de condição - aquelas em que aparece um sinal de < ou >. Estudemos então inequações do 1º grau com uma incógnita, isto é, as que se podem reduzir à forma ax+b<0 ou ax+b>0.

http://www.mat.uc.pt/~nep20/cef3/inequacoes.pps

INTERVALOS

http://matclaudiadiegues.googlepages.com/Intervalos07-08.pdf

http://glosmat.com.sapo.pt/apendice%20intervalos.pdf

Exercícios de revisão (Inequações e Intervalos):

http://www.somatematica.com.br/soexercicios/inequacoes.php

http://www.cardosolopes.net/Alunos/Disciplinas/MAT/9_ano/unidadeavaliacao_1/Unidade_de_Avaliacao_Inequacoes.htm

http://www.prof2000.pt/users/saro/n%C3%BAmreais9.htm

Filmes (MATEMÁTICA)

saberpensar — Tue, 01 Apr 2008 22:43:04 GMT

MATEMÁTICA

Matemática do Amor

Administração, Contabilidade e a Matemática

História da Matemática

A Matemática das Abelhas

Grandes Matemáticos

A Matemática das Guerras

Matemática e Música

Cartografia - Coordenadas Geográficas

Movimentos da Terra

Viagem Cósmica

GRÁFICOS 3D e MÚSICA electrónica

Universidade de Coimbra

Matemática (Fotografias)

O homem que calculava

1º Teste (Módulo: Triângulo Rectângulo )

saberpensar — Fri, 09 Nov 2007 22:50:36 GMT

MATEMÁTICA APLICADA 08 de Novembro de 2007

Curso de Educação e Formação ( CEF ) 9º ano

1. A Cláudia transportou, desde casa, o seu pombo-correio 6Km para norte e depois 2Km para oeste. No local a que chegaram, largou o pombo correio e este voou directamente para casa. Quanto voou o pombo?(Aproxima o resultado final às centésimas do Km.)

2. Será que uma escada com 7m, apoiada numa parede, poderá permitir subir a uma altura de 6m, se a sua base estiver a 4m da parede? Justifica.

3. Determina a área e o perímetro de uma placa de madeira como a da figura, sabendo que as suas bases têm 6m e 9m, e o lado oblíquo 5m.

4. Observa o seguinte trapézio equilátero.

4.1 Calcula a altura do trapézio.

4.2 Calcula a área do trapézio.

5. Calcula a altura do cone e o seu volume.

6. No aniversário de um grande mestre, os músicos compraram uma batuta em ouro com 42cm de comprimento. Para a embalarem mandaram fazer uma caixa de madeira em forma de um paralelepípedo com dimensões interiores de 40cm, 8cm e 6cm. Ao introduzirem a batuta na caixa tiveram uma surpresa. Qual? Justifica.

7. Observa a figura e determine a altura da árvore maior.

Boa Sorte

Jorge Correia

Triângulo Rectângulo

saberpensar — Tue, 25 Sep 2007 14:33:15 GMT

Um triângulo rectângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é um ângulo recto (90º).

Os lados de um triângulo rectângulo são designados por:

- catetos - lados que formam o ângulo recto;

- hipotenusa - lado oposto ao ângulo recto.

Teorema de Pitágoras - Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Porquê?

A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

Pitágoras (569 a. C. - 475 a. C.) foi um filósofo e matemático grego nascido na ilha de Samos. Por razões políticas abandonou a ilha, passando alguns anos no Egipto e em Itália. É muito conhecido por este teorema que permite relacionar os lados de um triângulo rectângulo. Fundou uma escola de grande rigor ético. Para ele tanto os números como a oposição finito-infinito constituíam a substância de todas as coisas. Atribuiu-se-lhe a descoberta da tabuada e do sestima decimal.

DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS:

http://www.enegrini.com.br/aulasanimadas/aulasanimadas.htm

O seguinte trabalho foi produzido pelos professores:

Maria de Lurdes Cruz Lima Brandão Cruz;

Maria Paula Trindade Ferreira Santos.

http://www.prof2000.pt/users/hjco/Pitagora/PG000016.htm

WebQuest

http://www.anossaescola.com/cr/webquest_id.asp?questID=759

PLANIFICAÇÃO (Ano Lectivo: 2007 / 2008 )

saberpensar — Mon, 17 Sep 2007 22:15:16 GMT

Neste ano lectivo de 2007/08, irei dar continuidade ao trabalho desenvolvido com esta turma do CEF .

Irão ser leccionados os seguintes Módulos:

* Módulo 13: TRIÂNGULO RECTÂNGULO;

* Módulo 15: APROXIMAÇÕES E INEQUAÇÕES;

* Módulo 10: FUNÇÔES E GRÁFICOS.

PLANIFICAÇÃO

Ano Lectivo 2007 / 2008

MATEMÁTICA APLICADA

Curso de Educação e Formação 9º F

Instalação e Operações de Sistemas Informáticos

1º PERÍODO

Nº de HORAS

Módulos

Aula de Apresentação…………………………………….....….. 1,5

13. Triângulo Rectângulo................................................................... 24

15. Aproximações e Inequações..................... ................................. 12

______

37,5

2º PERÍODO

Módulos

15. Aproximações e Inequações (continuação).............................. 6

10. Funções e gráficos....................................................................... 21

                                                                                                            ______

                                                                                                                 27

3º PERÍODO

Módulos

10. Funções e gráficos (continuação) .............................................. 3

     Aulas de Revisões........................................................................ 18

                                                                                                            ______

                                                                                                                21

Observação: Na duração de referência de cada um dos módulos já estão incluídas as horas para a avaliação sumativa final.

No primeiro ano do CEF , a carga horária para a disciplina de Matemática é de 85,5 horas.                ( 37,5 + 27 + 21 = 85,5 horas )

PLANIFICÃO A LONGO PRAZO DE

MATEMÁTICA APLICADA

Instalação e Operações de Sistemas Informáticos 9ºF

Conteúdos Programáticos

Nº de Aulas

1º

P

E

R

Í

O

D

O

Introdução à disciplina.

2. Triângulo Rectângulo.

2.1 Construção de triângulos rectângulos.

2.2 Relação entre as áreas dos quadrados construídos sobre os lados.

2.3. Teorema de Pitágoras

2.4 Números Irracionais.

2.5 Aplicações do Teorema de Pitágoras.

2.6 Teorema de Pitágoras e semelhança de triângulos.

2.7 Relação entre perímetros e áreas de triângulos semelhantes.

Aproximações e Inequações.

3.1 Números Racionais (revisão).

3.1.1 Resolução de problemas usando números decimais.

3.1.2 Fracções e decimais.

3.1.3 Adição e subtracção de números racionais.

3.1.4 Multiplicação e divisão de números racionais.

3.2 Números Irracionais.

3.3 Indicar valores aproximados de um dado número real, controlando o erro.

3.4 Inequações.

3.4.1 Verificar se um número é solução de uma inequação.

3.4.2 Resolver inequações do 1º grau a uma incógnita.

50 aulas

50 * 0.75 =

= 37,5 horas

2º

P

E

R

Í

O

D

O

3.4.2 Resolver inequações do 1º grau a uma incógnita (continuação).

4. Funções e gráficos.

4.1 Introdução ao estudo de funções.

4.2 Definição de função. Domínio e Contradomínio de uma função.

4.3 Formas de representar uma função.

4.4 Gráficos de rectas.

4.5 Função afim.

4.6 Função de proporcionalidade inversa.

4.4 Leitura, interpretação e construção de gráficos de viagens.

36 aulas

36 * 0.75 =

= 27 horas

3º

P

E

R

Í

O

D

O

4.5 Leitura, interpretação e construção de gráficos em contextos reais.

5. Aulas de revisão.

28 aulas

28 * 0.75 =

= 21 horas

Total

114 aulas

85,5 horas

Final do Ano Lectivo 2006/07

saberpensar — Tue, 12 Jun 2007 22:40:35 GMT

Estamos no final do ano lectivo 2006/07.

A criação deste blog e de uma webquest resultam da minha participação numa Acção de Formação, "A utilização das TIC nos processos de ensino/aprendizagem".

Os alunos gostaram da criação do blog e pediram a continuação da dinamização do mesmo no ano lectivo 2007/08. A utilização deste blog na sala de aula revelou-se uma ferramenta útil no processo de ensino/aprendizagem, acabando por ser notório um maior empenho, atenção e compreensão dos conteúdos por parte dos alunos aquando da utilização do mesmo.

A Webquest também ajudou os alunos a compreender melhor o cálculo da medida de um lado de um triângulo e a sua utilidade.

http://www.cfpa.pt/phpwebquest/webquest/soporte_derecha_w.php?id_actividad=654&id_pagina=1

Finalmente chegaram as férias!! Divirtam-se...

Probabilidades: problemas (Exercício A)

saberpensar — Sun, 10 Jun 2007 23:13:10 GMT

Responde às seguintes questões no espaço indicado para "sugestões". Não se esqueçam de indicar os vossos nomes.

1. Qual é a probabilidade de sair um número par quando lanço um dado?

2. Qual é a probabilidade de escolher um rapaz de entre os alunos do CEF ?

3. Qual é a probabilidade de ao tirar uma dama de um baralho com 40 cartas?

4. Qual é a probabilidade de tirar uma dama ou um rei de um baralho com 40 cartas?

5. Na roleta, qual é a probabilidade de acertar no número 25?

6. No jogo da roleta apostei nos números 12, 19, 25, 32 e ainda no último, o 36. Qual é a probabilidade de acertar?

Bom Trabalho.

Se clicares em "Ver comentários" poderás ver as respostas correctas a estas 6 questões e ainda a classificação final obtida por cada um dos grupos.

Teste de Avaliação (Estatística e Probabilidades)

saberpensar — Thu, 31 May 2007 22:26:16 GMT

MATEMÁTICA APLICADA
Curso de Educação e Formação (CEF)

Ano Lectivo 2006 / 2007

1. Observa a seguinte tabela relativa ao número de faltas dadas por 20 funcionários:

1.1 Indica qual é a moda.
1.2 Completa a seguinte frase: “A média vai ser um valor entre ________e ________.”
1.3 Calcula a média.
1.4 Calcula a mediana.
1.5 Completa a tabela de frequências indicando a frequência relativa e a respectiva percentagem.
1.6 Calcula a percentagem de faltas superior a dois dias.
1.7 Classifica a variável estatística.
1.8 Constrói um gráfico de barras.
1.9 Constrói um gráfico circular.

2. Num colégio, os alunos fizeram uma votação para decidir sobre o local a visitar num passeio escolar. O gráfico traduz o resultado dessa votação.

2.1 Qual foi o local preferido?

2.2 Sabendo que 400 alunos participaram na votação, quantos votaram na ida a Lisboa?

2.3 Calcula a amplitude do ângulo ao centro correspondente ao sector "Espanha".

2.4 Indica a percentagem de alunos que votaram num passeio fora de Portugal.

3. Registou-se o número de erros dados num ditado de Inglês, numa turma com 33 alunos.

3.1 Organiza os dados numa tabela de frequências (absolutas e relativas). Usa as classes de 0 a 5, 5 a 10, etc…
3.2 Constrói um histograma relativo a esta distribuição.
3.3 Constrói o polígono de frequências.

4. Um professor pretendeu fazer um estudo estatístico relativo à deslocação dos alunos para a escola. De entre 300 alunos existentes nessa escola foram seleccionados apenas 24 para a realização do inquérito.
Os resultados encontram-se registados no seguinte gráfico.

4.1 Trata-se de um senso ou de uma sondagem? Justifica.
4.2 Qual é a população do estudo?
4.3 Qual é a amostra?
4.4 Calcula a percentagem de alunos que se deslocam a pé.

5. A Ana pegou, aleatoriamente, numa destas cartas. Calcula:

5.1 A probabilidade de sair um Ás.
5.2 A probabilidade de sair um Rei.
5.3 A probabilidade de sair um Ás ou um Rei.
5.4 A probabilidade de sair um 7.

6. Num frigorífico há iogurtes de maçã e iogurtes de ananás. A probabilidade de tirar um iogurte de maçã é 3/10.
6.1 Qual é a probabilidade de tirar um iogurte de ananás?
6.2 Há mais iogurtes de maçã ou de ananás? Justifica.

7. Numa taça foram colocados 15 rebuçados verdes e 20 rebuçados azuis.
7.1 Qual a probabilidade da Joana comer um rebuçado verde?
7.2 Sabendo que a Joana comeu dois rebuçados azuis que estavam na taça, qual é a probabilidade da Maria comer um rebuçado azul?

Jorge Correia

Bom Trabalho

Trabalho realizado no Excel

saberpensar — Mon, 21 May 2007 10:09:23 GMT

Neste capítulo de Estatística, uma das propostas de trabalho apresentadas aos alunos, foi a construção de uma tabela de frequências, e respectivo histograma e gráfico circular na folha de cálculo, Excel . Para a realização desta tarefa, o professor da disciplina de Matemática Aplicada levou os alunos para uma sala com computadores e com um projector. Depois de ter sido dada alguma informação relativa ao funcionamento do Excel , os alunos, distribuídos por vários grupos, partiram ao trabalho.

Formaram-se grupos de trabalho constituídos por dois a três alunos.

No final da aula todos os grupos conseguiram realizar com sucesso a tarefa que lhes foi proposta.

Este foi o resultado final.

Ficha de Trabalho de Probabilidades

saberpensar — Sun, 20 May 2007 22:43:58 GMT

FICHA DE TRABALHO

PROBABILIDADES

Ano Lectivo 2006 / 2007

1. Aleatoriamente, uma letra é retirada da palavra PROBABILIDADE.

Calcula a probabilidade da letra seleccionada ser a letra:

1.1 P ; 1.2 B ; 1.3 D.

2. Um baralho de cartas é formado por 40 cartas. Tem-se então 10 cartas do naipe de copas, 10 do naipe de ouros, 10 do naipe de espadas e 10 do naipe de paus. Os dois primeiros naipes são vermelhos e os outros dois são pretos. Qual é a probabilidade de:

2.1 sair uma carta de paus;

2.2 sair um Ás.

2.3 sair uma carta preta.

2.4 não sair uma carta preta.

2.5 sair uma copa sabendo que foram retiradas do baralho 4 cartas de espadas.

2.6 sair uma copa sabendo que foram retiradas do baralho 4 cartas de copas.

3. Para cada um dos casos indica qual dos acontecimentos A e B tem maior probabilidade:

4. Os alunos da turma do CEF, têm Matemática às segundas, quintas e sextas: O professor escolhe uma data do mês de Novembro para a realização de um teste.

Qual é a probabilidade do professor escolher:

4.1 uma segunda?

4.2 uma quinta ou uma sexta?

5. Numa turma com 9 rapazes e 14 raparigas vai ser sorteado um disco.

5.1 Qual é a probabilidade de o disco sair a um rapaz?

5.2 É mais provável que o disco saia a um rapaz ou a uma rapariga? Justifica.

5.3 Qual é a probabilidade de o disco ir para a Carla, sabendo que esta é uma das alunas da turma?

5.4 Qual é a probabilidade de o disco ir para o João, que não pertence a esta turma?

6. De um avião vai ser lançado uma caixa de medicamentos que pode cair em qualquer ponto da superfície da figura dada.

6.1 Determina a probabilidade da caixa cair na zona colorida.

6.2 Determina a probabilidade da caixa cair na zona colorida.

7. Se a probabilidade de um acontecimento é 3/10, quantos casos favoráveis a esse acontecimento podemos esperar obter em 40 experiências?

8. A probabilidade do João ganhar um certo jogo é de 58%. Se ele jogar 120 vezes, quantos jogos o João esperará ganhar?

Bom Trabalho

Jorge Correia

Geometria e Círculo

saberpensar — Sun, 13 May 2007 20:30:53 GMT

Segundo algumas hipóteses, a roda foi inventada na Ásia, há 6000 anos, na Mesopotâmia talvez. Foi uma invenção de importância extraordinária, não só porque promoveu uma revolução no campo dos transportes e da comunicação, mas também porque a roda, com diferentes modificações, passou a fazer parte de numerosos mecanismos e contribuiu para um incrível impulso ao progresso humano. Como nasceu a ideia de se construir a roda? Talvez dos troncos que muitos povos, inclusive assírios e egípcios, colocavam sob grandes massas de pedra, a fim de que estas corressem melhor pelo terreno, quando queriam transportá-las.

Momento lúdico: A descoberta e utilização da roda

http://www.youtube.com/watch?v=RQruWLFLypU

Mas já muito antes do homem ter inventado a roda, a própria Natureza tinha inventado a circunferência e o círculo.

A circunferência foi o grande amor dos geómetras gregos. Com a ajuda dos conhecimentos que desenvolveram sobre a circunferência, os gregos puderam dar um grande avanço na Astronomia. Foi Eratóstenes, em 230 a. C., o primeiro a calcular o meridiano terrestre, tendo obtido um valor correspondente a 40 000Km.

http://www.youtube.com/watch?v=T8PIIk3_qt8

Nesta unidade serão resolvidos problemas que envolvam:

* o cálculo do perímetro da circunferência;

* o cálculo da àrea do círculo;

* o cálculo de ângulos ao centro da circunferência;

* o cálculo de ângulos inscritos na circunferência;

* ângulos, arcos e cordas.

* a construção de polígonos regulares;

* o cálculo da área total dos seguintes sólido de revolução: cilindro e cone;

* o cálculo do volume do cone e do cilindro.

Uma circunferência é uma curva formada por todos os pontos situados a igual distância de um dado ponto a que chamamos centro (o centro não é um ponto da circunferência).

O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma.

Os ângulos inscritos que contêm Um ângulo inscrito numa

o mesmo arco são semicircunferência

geometricamente iguais. é um ângulo recto.

Numa circunferência, as cordas correspondentes a dois ângulos ao centro iguais são geometricamente iguais, e reciprocamente.

Numa circunferência, os arcos correspondentes a dois ângulos ao centro iguais são geometricamente iguais, e reciprocamente.

Numa circunferência, uma recta tangente à circunferência é perpendicular à recta que contém o centro e o ponto de tangência.

Numa circunferência, uma recta perpendicular ao meio de uma corda contém o centro da circunferência.

Numa circunferência, arcos e cordas compreendidos entre duas rectas paralelas são geometricamente iguais.

A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência é 180º.

Qualquer polígono regular pode ser inscrito numa circunferência.

CILINDRO CONE

( Ab :área da base, ou seja, a área do círculo ) ( h : altura do sólido )

O Cilindro e o Cone:

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm21/cilindro.htm

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm21/cone.htm

Trabalho desenvolvido na sala de aula recorrendo ao rectro-ptrojector e a acetatos: calculo da amplitude de ângulos ao centro numa circunferência e de ângulos inscritos numa circunferência.

Probabilidades e os jogos de azar.

saberpensar — Tue, 27 Mar 2007 23:55:02 GMT

Qual a probabilidade de sair Cara? Será esta igual à probabilidade de sair Coroa?

O lançamento de uma moeda ao ar foi a primeira experiência aleatória a ser realizada neste módulo.

É um experiência em que é fácil dar resposta às questões colocadas, pois os casos possíveis são apenas dois.

Qual a probabilidade de sair um nº par?

Qual a probabilidade de sair um número não inferior a cinco?

O lançamento do dado permite colocar questões bem mais complexas e interessantes. Os alunos começam desta forma a preocupar-se com a contangem dos casos favoráveis.

Qual a probabilidade de sair um Ás?

Qual a probabilidade de sair um Ás ou um rei?

Qual a probabilidade de sair uma carta de copas?

Sabendo que tirei duas copas de um baralho com 40 cartas (10 de cada naipe), qual é agora a probabilidade de tirar uma carte de copas?

O cardinal do Universo é agora bem maior, o que dificulta um pouco a contagem dos casos favoráveis e possibilita a colocação de questões mais complexas.

A roleta é também um jogo que permite a colocação de questões mais complexas. Este jogo foi alvo de estudo na sala de aula (Observação: ver artigo publicado com o nome "Estatística e Probabilidades").

Estatística e Probabilidades

saberpensar — Tue, 20 Feb 2007 22:46:12 GMT

ESTATÍSTICA

O desenvolvimento que o Mundo conheceu, principalmente na segunda metade do século XX, conduziu a que os governos e cidadãos sentissem crescentes necessidades de informação. Estas necessidades só poderiam ser satisfeitas por um sistema estatístico devidamente organizado.

O Sistema Estatístico Nacional produz informação estatística sobre toda a vida do país: demografia, actividades económicas, condições de vida, emprego, educação, cultura e lazer: Abrange assim toda a população, todas as empresas e todos os organismos públicos.

O Instituto Nacional de Estatística (INE), organismo que tem a seu cargo a produção das estatísticas nacionais, publica regularmente boletins com toda esta informação actualizada, disponibilizando-a a quem dela necessita.

A Estatística pode definir-se como um conjunto de métodos que têm por objecto a recolha, análise e interpretação de dados relativos a um conjunto de dados. Neste capítulo os alunos envolver-se em actividades matemáticas de natureza investigativa: formular questões, recolher dados, organizá-los, interpretá-los e tirar conclusões relativamente ao problema de partida.

Informação retirada do saite do Instituto Nacional de Estatística

Dados referentes a Portugal
Principais Indicadores	Unidade	Referência	Valor
População Total (1)	nº	31-12-2005	10.549.424
Nados-Vivos	nº	2005	109.457
Óbitos	nº	2005	107.839
Produto Interno Bruto a preços de mercado (2)	Milhões de Euros	2006	155.289
Estrutura do Valor Acrescentado Bruto por sectores: Agricultura, Silvicultura e Pesca (3)	%	2006	2,8
Estrutura do Valor Acrescentado Bruto por sectores: Indústria, Construção, Electricidade, Gás e Água (3)	%	2006	24,9
Estrutura do Valor Acrescentado Bruto por sectores: Serviços (3)	%	2006	72,4
Índice de Preços no Consumidor - variação média dos últimos 12 meses (7)	%	Abril 2007	2,8
Índice de Preços no Consumidor - variação homóloga (4)	%	Abril de 2007	2,7
Índice de Preços na Produção Industrial - variação homóloga (5)	%	Abril de 2007	2,7
Índice de Produção Industrial - variação homóloga (7)	%	Abril de 2007	4,6
Índice de Produção Industrial - variação média dos últimos 12 meses (7)	%	Abril de 2007	3,9
Taxa de Desemprego (6)	%	1º Trim	8,4
Comércio Internacional – Saída de Bens (Fob)	Milhões de Euros	2004	29.576,4
Comércio Internacional - Entrada de Bens (Cif)	Milhões de Euros	2004	45.861,5
Comércio Internacional - Taxa de Cobertura	%	2004	64,5
Famílias equipadas com automóvel (8)	%	2000	59,9
Famílias equipadas com televisão (8)	%	2000	97,9
Famílias equipadas com videogravador (8)	%	2000	49,7
Alojamentos familiares equipados com telefone (8)	%	2000	75,5
Famílias equipadas com computador (8)	%	2000	21,5
Famílias equipadas com telemóvel (8)	%	2000	47,4

(1) População residente. Dados estimados aferidos para os resultados definitivos dos Censos 2001
(2) Valores preliminares
(3) VAB excepto Serviços de Intermediação Financeira Indirectamente Medidos. Valores preliminares
(4) IPC Total
(5) Índice Geral (Base 100:2000)
(6) Nacional
(7) Índice geral corrigido dos dias úteis e de sazonalidade (Base 100:2000)
(8) Os indicadores de conforto das famílias são calculados com base nos dados recolhidos no Inquérito aos Orçamentos Familiares. Este inquérito tem periodicidade quinquenal e o último foi realizado em 2000.

Estes filmes são interessantes pois graças a estudos estatísticos podemos saber o que se passa no mundo actual. Quanto ao primeiro filme discordo totalmente da última afirmação.

PROBABILIDADES

A teoria das Probabilidades teve origem num problema posto a Pascal pelo cavaleiro De Meré, jogador inveterado que desejava ganhar nos jogos de azar.

As perguntas de De Meré entusiasmaram Pascal que imediatamente iniciou uma correspondência com o seu colega Pierre de Fermat, correspondência que se tornou célebre.

Estavam dados os primeiros passos para «calcular» o acaso.

Sempre que os resultados possíveis de uma experiência aleatória são equiprováveis, podemos aplicar a Lei de Laplace

http://br.youtube.com/watch?v=fiUwJwGYhRs

Os jogos de azar são jogos em que a possibilidade de ganhar ou perder não dependem da habilidade do jogador, mas apenas do azar do apostador. O jogo de azar que encabeça esta categoria é a roleta. Esta foi inventada na Europa no século XVII, sendo dos jogos tradicionais dos casinos o mais antigo. O objetivo do jogo é apostar no número em que a bolinha para.

Tabela de Pagamentos da Roleta
Apostas Internas	Probabilidades Pagas
Direta (straight up)	35:1
Separada (2 números)	17:1
Fila (3 números)	11:1
Triplo (três números)	11:1
Esquina (4 números)	8:1
Linha do Topo (Primeiros 4 números: 0, 1, 2, 3)	8:1
Rua (6 números em duas Filas adjacentes)	5:1
Apostas Externas	Probabilidades Pagas
1ª, 2ª ou 3ª Coluna (12 números)	2:1
1ª, 2ª ou 3ª Dúzia	2:1
Preto ou Vermelho	1:1
Par ou Ímpar	1:1
Metade Baixa (1-18) ou Metade Alta (19-36)	1:1

Explicação de como podem ser feitas as apostas na roleta:

http://www.youtube.com/watch?v=z-kk74dvBus

ATENÇÃO:

O jogo é "o vício mais devastador", porque em minutos a pessoa pode gastar tudo o que ganhou numa vida. O jogador compulsivo vive na ilusão. Acredita sempre que a próxima jogada o irá salvar. Pode ter perdido três mil vezes, mas só se lembra da única vez que ganhou".

Nos dias de hoje a Teoria das Probabilidades aplica-se a várias ciências, como por exemplo, à Engenharia, à Física, à Biologia, às Ciências Sociais, à Estatística, aos Seguros.

A avaliação desta unidade vai ter em conta:

* Recolha e tratamento dos dados: construção no Excel de uma tabela de frequências, do histograma e do gráfico circular.

* Uma prova escrita com a duração de uma hora e meia.

Apresentação de um trabalho em PowerPoint (para que a informção apareça é necessário depois "clicar" no rato):

http://alea-estp.ine.pt/html/galvirt/html/galv0012-1/docs/probabilidades.ppt

Do Plano ao Espaço

saberpensar — Mon, 08 Jan 2007 00:40:35 GMT

Este módulo pretende desenvolver um raciocínio geométrico e a capacidade de visualização no que respeita às transformações geométricas e às suas propriedades. Serão abordadas as noções de ampliação, redução e isometria num contexto de resolução de problemas que envolvam comprimentos, áreas e volumes.

Geometria (três vídeos retirados do YouTube):

http://www.youtube.com/watch?v=HeDAu1nV8uA

http://www.youtube.com/watch?v=FwafbOWoEIA

http://www.youtube.com/watch?v=4Wa_vIIp6ds

Exercício: Observa este filme e pára a imagem quando encontares pelo menos uma das seguintes situações: figuras semelhantes; simetrias (indica o eixo de simetria); rotações; translacções; reduções; ampliações. Justifica em seguida a tua opção.

http://www.youtube.com/watch?v=I5DReUH9duA

Esta actividade pode ser desenvolvida na sala de aula com a ajuda do quadro electrónico.

Introdução ao Cabrio (2 aulas):

http://www.youtube.com/watch?v=ERWr5SnzfCU

http://www.youtube.com/watch?v=gUhsgMsi3t0

Homotetia

http://redeciencia.educ.fc.ul.pt/act/geometria/trabalun/GRUPO1A.HTM

Estes dois triângulos são semelhantes.

Os lados do primeiro triângulo medem o dobro dos lados correspondentes do segundo triângulo.

Deste modo tem-se que:

* O Perímetro do primeiro triângulo é o dobro do segundo;

* A Área do primeiro triângulo é quatro vezes maior (2x2 = 4) que o segundo (observa que no 1º triângulo cabem quatro triângulos dos mais pequenos).

Poliedros construidos em cartolina

saberpensar — Thu, 02 Nov 2006 23:53:23 GMT

No módulo de Geometria Intuitiva pretendeu-se que os alunos construíssem modelos de poliedros. A construção de cada um dos sólidos propostos passou primeiro por uma fase de observação e discussão, em seguida, pela sua planificação em cartolina, recorte e colagem das faces. Para que estas ficassem bem coladas, foi necessário deixar algumas asas auxiliares.

Exemplo da planificação de um prisma triangular:

Fotografias onde são apresentados sólidos construídos na sala de aula.

Para cada um dos sólidos construídos, realizou-se ainda a seguinte actividade de investigação: cálculo da área total e cálculo do volume.

Neste módulo foi notório um empenho por parte dos alunos na realização dos trabalhos que lhes foram propostos, uma vez que se desmistificou a ideia generalizada de que a Matemática é "um bicho papão". A realização de tarefas práticas e divertidas contribuiu assim para despertar o interesse pela disciplina.

Teste de Avaliação (Geometria Intuitiva)

saberpensar — Fri, 27 Oct 2006 20:36:46 GMT

MATEMÁTICA APLICADA

Curso de Educação e Formação ( CEF )

Ano Lectivo 2006 / 2007

1. Para cada um dos triângulos determine a amplitude dos ângulos desconhecidos e classifique-o quanto aos comprimentos dos lados.

1.1 1.2

1.3 1.4

2. Para cada um dos quadriláteros determine a amplitude dos ângulos desconhecidos.

2.1 2.2

4. Determine a área da parte colorida (trapézio escaleno).

8cm

5. Completa:

6. Constrói em cartolina uma fatia de queijo dos Açores com as dimensões indicadas na figura.

Bom Trabalho

Jorge Correia

Dos Números às Equações

saberpensar — Fri, 20 Oct 2006 18:21:47 GMT

Os Números

Nada melhor do que começar com uma Música cujo título é "NÚMEROS!!!"

http://www.youtube.com/watch?v=0HKQsrSSLUY

Qual a lógica que está por detrás dos números árabes?

O número de ÂNGULOS!!!

O número um tem um ângulo.

O número dois tem dois ângulos.

...

O número zero não tem ângulos.

A evolução da Matemática e a evolução da Civilização estão relacionadas. Por isso, os números foram aparecendo tendo em conta as necessidades do Homem. É óbvio que os números inteiros positivos aparecem primeiro que os fraccionários, que o zero ou os negativos. A necessidade de contar e de efectuar cálculos levou a que o homem construísse instrumentos para esse efeito.

http://www.youtube.com/watch?v=13PiOu0mY7s

http://www.youtube.com/watch?v=uTrFtjTnI8A

http://www.youtube.com/watch?v=RKZdp7Bp30c

Os números fraccionários (exercícios):

http://www.genmagic.org/mates2/fraccio_cas.swf

A Matemática (números fraccionários) e a Música:

http://www.youtube.com/watch?v=7S3iW_sbqsA

O ábaco mais conhecido desenvolveu-se China, no século VI. Com introdução dos números árabes, o ábaco começou a entrar em declínio.

A régua de cálculo, ainda hoje utilizada em engenharia, permite efectuar subtracções, somas, multiplicações e divisões.

A 1º máquina calculadora foi construída em 1642 pelo matemático Pascal, para ajudar o pai nos cálculos da sua repartição de impostos (este sistema é aplicado nos conta-quilómetros dos automóveis actuais). Nos dias de hoje temos os computadores.

Hoje em dia ninguém põe em causa a importância dos números nas nossa vidas. Presentes em cálculos necessários para a resolução de problemas do nosso dia-a-dia, eles regem a economia familiar, a economia mundial e influenciam directamente o comportamento humano, seja nos ponteiros do relógio ou na contagem dos dias e anos.

As Equações

A álgebra é o ramo da matemática que relaciona os números, as variáveis (incógnitas) e as operações. Na apresentação e resolução de alguns problemas recorre-se muitas das vezes a expressões algébricas, ou seja, a expressões onde figuram letras, a par de números e operações. Á igualdade entre duas expressões algébricas chama-mos equação.

As equações são estudadas há muitos séculos antes de Cristo. Elas apareceram para resolver problemas do dia-a-dia ou para desenvolver a argúcia e a inteligência de quem os propunha e de quem os tentava resolver.

As equações não tinham o aspecto que hoje em dia apresentam. A forma actual foi o resultado de muitos séculos de evolução dos símbolos matemáticos. Só no século XVIII, Viète e Descartes introduziram a notação simbólica.

Exemplo de equações encontradas num Papiro de Rhind (1650 a. C.), copiado por um escriba egípcio de nome Ahmes a partir de um documento escrito 200 anos antes!

Exercício:

Pensa num número qualquer.

Calcula o dobro desse número.

Adiciona agora seis unidades.

Calcula metade do valor obtido.

Adiciona duas unidades.

Calcula a diferença entre o resultado obtido e o número pensado inicialmente.

O resultado final é cinco. Porquê?

A justificação é dada com a ajuda das expressões algébricas.

Resolução de equações do 1º grau.

http://www.genmagic.org/mates2/eq1_cast.swf"

Material necessário para o módulo de "Geometria Intuitiva":
máquina de calcular científica ou gráfica

A avaliação desta unidade vai ter em conta:
* um teste escrito com a duração de uma hora e meia.
* a realização dos trabalhos de casa e a capacidade de resolução dos problemas propostas na sala de aula.

Sugestões de endereços onde Pesquisa na Net

Ficha de Trabalho de "Geometria Intuitiva"

saberpensar — Sun, 01 Oct 2006 21:15:55 GMT

Ficha de Trabalho

CEF Ano Lectivo: 2006 / 2007

QUADRADO

Área do Quadrado = lado x lado

Nota: é a área correspondente a um quadrado com 1m de lado.

Exercícios:

Calcula a área do quadrado com 10 dm de lado.

Calcula a área do quadrado com 100 cm de lado.

Conclusão:

Como 1m = 10dm = 100cm, podemos concluir que nestes dois exercícios anteriores estamos a falar do mesmo quadrado, ou seja, que têm a mesma área.

RECTÂNGULO

Exercício 3: Considera o seguinte rectângulo:

sabendo que o quadrado tem 1.

a) Indica qual a área do rectângulo dado, contando unicamente o número de quadrados.

b) Calcula a área do rectângulo sem contar os quadrados (o resultado tem que dar o mesmo da alínea anterior).

Conclusão:

A fórmula matemática correspondente à área do rectângulo é ______

TRIÂNGULO

Observa o rectângulo [ABCD] :

A área da região colorida do rectângulo é igual à área da região branca do rectângulo.

Conclusão:

A fórmula matemática correspondente à área do triângulo é _______

Exercício 4: Calcula a área do triângulo dado.

CUBO

Volume do cubo = aresta x aresta x aresta

Nota: corresponde ao volume de um cubo com 1m de aresta (ou altura).

Exercícios:

5. Calcula o volume do cubo em que cada aresta mede 10 dm.

6. Calcula o volume do cubo em que cada aresta mede 100 cm.

Conclusão:

Como 1m = 10dm = 100cm, podemos concluir que nestes dois exercícios anteriores estamos a falar do mesmo cubo (pois têm a mesma aresta), ou seja, que têm o mesmo volume.

Bom Trabalho

Jorge Correia

Geometria Intuitiva

saberpensar — Fri, 15 Sep 2006 09:56:45 GMT

Esta unidade é merecedora de ser a primeira a ser leccionada num Curso de Educação e Formação. A possibilidade de CONSTRUIR e de MANIPULAR sólidos geométricos irão ser certamente do agrado de todos os alunos. Deste modo será mais fácil a compreensão de toda uma teoria necessária à resolução dos problemas propostos.

Os Prismas são sólidos constituídos por duas faces paralelas que dão o nome ao prisma, e uma série de rectângulos, tantos como os lados de uma dessas faces paralelas.

As Pirâmides são sólidos que têm por base um polígono e cujas faces laterais são triângulos que se reúnem num ponto comum chamado vértice da pirâmide.

Sólidos Geométricos:

http://www2.ucg.br/design/da2/solidosgeometricos.pdf

Etapas a serem desenvolvidas:

1º Etapa: Construção de triângulos. Estudo dos seguintes polígonos: triângulo; quadrado; rectângulo; pentágono; heptágono; polígonos regulares. Identificação de propriedades geométricas.

2º Etapa: Construção em cartolina de poliedros: prismas rectos e pirâmides rectas.

3º Etapa: Manipulação dos sólidos construídos, desenvolvendo as seguintes actividades de investigação: cálculo da área de uma face do sólido; cálculo da área total do sólido; cálculo do volume do sólido.

Exemplo da planificação de um Prisma triângular:

Área total do sólido é a soma das áreas das faces do sólido.

Volume do Prisma = Área da Base x altura

Volume do Pirâmide = ( Área da Base x altura ) / 3

Material necessário para o módulo de "Geometria Intuitiva":

lápis; borracha; régua; esquadro; compasso; transferidor; cartolina.

A avaliação desta unidade vai ter em conta:

* os sólidos construidos pelos alunos.

* uma prova escrita em que numa das questões será pedida a construção de um sólido.

Planificação a Longo Prazo

saberpensar — Tue, 12 Sep 2006 15:47:12 GMT

Este blog pretende ser um diário aberto das actividades a serem realizadas durante cada ano lectivo na disciplina de Matemática Aplicada.

Ano Lectivo 2006 / 2007

MATEMÁTICA APLICADA

Curso de Educação e Formação (Nível 2)

1º PERÍODO

Nº de HORAS

Módulos

Aula de Apresentação……………………………………………….. 1

8. Geometria Intuitiva.............................................................................. 24

9. Das Equações ao Números.............................................................. 20

____

Total 45

2º PERÍODO

Módulos

9. Das Equações aos Números (continuação)..................................... 4

10. Do Plano ao Espaço........................................................................ 24

11. Estatística e Probabilidades........................................................... 15,5

______

Total 43,5

3º PERÍODO

Módulos

11. Estatística e Probabilidades (continuação).................................. 8,5

14. Geometria do Círculo...................................................................... 18

Aulas de Revisões............................................................................ 12,5

______

Total 39

Observação: Na duração de referência de cada um dos módulos já estão incluídas as horas para a avaliação sumativa final.

No primeiro ano do CEF, a carga horária para a disciplina de Matemática é de 127,5 horas. ( 45 + 43,5 + 39 = 127,5 horas )

	*Conteúdos Programáticos*	Nº de Aulas
1º P E R Í O D O	Introdução à disciplina. Geometria Intuitiva. 2.1 Polígonos. 2.1.1 Classificação de Polígonos. 2.1.2 Ângulos. 2.1.3 Propriedades de figuras geométricas (triângulos e quadriláteros). 2.1.4 Construção de triângulos. 2.2 Poliedros 2.2.1 Planificação e construção de Poliedros (prismas e pirâmides). 2.2.2 Volume de prismas e da pirâmide. 3. Dos Números às Equações. 3.1 Conjuntos numéricos. 3.2 Simplificação de expressões com letras. 3.3 Resolução de equações.	60 60*0.75 = = 45 horas
2º P E R Í O D O	3.4 Resolução de problemas usando equações. 4. Do Plano ao Espaço. 4.1 Casos de igualdade e de semelhança de triângulos. 4.2 Transformações geométricas. 4.2.1 Isometrias: Simetria; Translação; Rotação. 4.2.2 Semelhanças. 4.3 Rectas e planos no espaço. 5. Estatística e Probabilidades. 5.1 Organização e representação de dados. 5.1.1 Construção de tabelas. 5.1.2 Construção de gráficos. 5.2 Moda, média e mediana.	58 58*0.75 = = 43,5 horas
3º P E R Í O D O	5.3 Conjunto de resultados. Acontecimentos. 5.4 Lei de Laplace. Cálculo de Probabilidades. 5.5 Probabilidade e frequência relativa. 6. Geometria do Círculo. 6.1 Intersecção de uma circunferência por rectas paralelas. Tangente a uma circunferência. 6.2 Ângulos ao centro. Arcos e cordas correspondentes. 6.3 Ângulos inscritos num arco de circunferência. 6.4 Polígonos inscritos na circunferência. 6.5 Área do círculo.	39 52*0.75 = = 39 horas
	Total	157 aulas *127,5 horas*

	*Conteúdos Programáticos*	Nº de Aulas
1º P E R Í O D O	Introdução à disciplina. 2. Triângulo Rectângulo. 2.1 Construção de triângulos rectângulos. 2.2 Relação entre as áreas dos quadrados construídos sobre os lados. 2.3. Teorema de Pitágoras 2.4 Números Irracionais. 2.5 Aplicações do Teorema de Pitágoras. 2.6 Teorema de Pitágoras e semelhança de triângulos. 2.7 Relação entre perímetros e áreas de triângulos semelhantes. Aproximações e Inequações. 3.1 Números Racionais (revisão). 3.1.1 Resolução de problemas usando números decimais. 3.1.2 Fracções e decimais. 3.1.3 Adição e subtracção de números racionais. 3.1.4 Multiplicação e divisão de números racionais. 3.2 Números Irracionais. 3.3 Indicar valores aproximados de um dado número real, controlando o erro. 3.4 Inequações. 3.4.1 Verificar se um número é solução de uma inequação. 3.4.2 Resolver inequações do 1º grau a uma incógnita.	50 aulas 50 * 0.75 = = 37,5 horas
2º P E R Í O D O	3.4.2 Resolver inequações do 1º grau a uma incógnita (continuação). 4. Funções e gráficos. 4.1 Introdução ao estudo de funções. 4.2 Definição de função. Domínio e Contradomínio de uma função. 4.3 Formas de representar uma função. 4.4 Gráficos de rectas. 4.5 Função afim. 4.6 Função de proporcionalidade inversa. 4.4 Leitura, interpretação e construção de gráficos de viagens.	36 aulas 36 * 0.75 = = 27 horas
3º P E R Í O D O	4.5 Leitura, interpretação e construção de gráficos em contextos reais. 5. Aulas de revisão.	28 aulas 28 * 0.75 = = 21 horas
	Total	114 aulas *85,5 horas*